Question

8．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=1，AD=2，E為BC的中點，點M，N分別為棱DD₁，A₁D₁的中點．
（Ⅰ）求證：平面CMN∥平面A₁DE；
（Ⅱ）求證：平面A₁DE⊥平面A₁AE．

Answer 1

分析 （I）由中位線定理可得MN∥A₁D，由長方體的結構特征可得四邊形A₁ECN是平行四邊形，故CN∥A₁E，從而平面CMN∥平面A₁DE；
（II）由AA₁⊥平面ABCD可得AA₁⊥DE，由線段的長度可由勾股定理的逆定理得出AE⊥DE，故DE⊥平面A₁AE，從而平面A₁DE⊥平面A₁AE．

解答 解：（Ⅰ）∵M，N分別為棱DD₁，A₁D₁的中點，∴MN∥A₁D，
∵A₁D?平面A₁DE，MN?平面A₁DE，∴MN∥平面A₁CD．
∵E是BC中點，N是A₁D₁的中點，∴A₁N=CE，A₁N∥CE，
∴四邊形A₁ECN是平行四邊形，∴CN∥A₁E，
∵A₁E?平面A₁DE，CN?平面A₁DE，∴CN∥平面A₁CD，
又∵MN∩CN=N，MN?平面MCN，CN?平面MCN，
∴平面CMN∥平面A₁DE．
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，
∴AA₁⊥DE．
∵AB=1，AD=2，E為BC的中點，
∴$EA=\sqrt{2}，ED=\sqrt{2}$，
∴EA²+ED²=AD²，即AE⊥DE．
∵AA₁?平面AA₁E，AE?平面AA₁E，AE∩AA₁=A，
∴DE⊥平面A₁AE．
又DE?平面A₁DE，所以平面A₁DE⊥平面A₁AE．

點評 本題考查了長方體的結構特征，面面平行的判定，面面垂直的判定，屬于中檔題．