Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，己如AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，AD=AB=2DC=2，SC=

5

，E為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若F為SB的中點(diǎn)，求證：CF∥平面SAD：
（Ⅱ）平面SAD與平面SBC所成銳二面角的大�。�
（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面SBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CF∥平面SAD．
（Ⅱ）分別求出平面SBC的法向量和平面SAD的法向量，由此利用向量法能求出平面SAD與平面SBC所成銳二面角的大�。�
（Ⅲ）求出

BE

=(2，-1，0)和平面SBC的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)E到平面SBC的距離．

解答： （Ⅰ）證明：∵△SAD是正三角形，∴SD=AD=2，SE⊥AD，
∵在△SCD中，DC=1，SD=2，SC=

5

，
∴DC²+SD²=SC²，∴DC⊥SD，
∵AB∥DC，AB⊥AD，SD∩AD=D，
∴DC⊥AD，∴DC⊥平面SAD，
過E點(diǎn)作EG∥DC交BC于點(diǎn)G，
以E為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則E（0，0，0），A（0，-1，0），B（2，-1，0），
C（1，1，0），D（0，1，0），S（0，0，

3

），
∵F為SB的中點(diǎn)，F(xiàn)（1，-

1

2

，

3

2

），
∴

CF

=（0，-

3

2

，

3

2

），
∵

DC

=(1，0，0)是平面SAD的一個(gè)法向量，

DC

•

CF

=0，∴CF⊥DC，
∵CF不包含于平同SAD，∴CF∥平面SAD．
（Ⅱ）解：設(shè)平面SBC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n

•

SB

=0，

n

•

SC

=0，

SB

=(2，-1，-

3

)，

SC

=(1，1，-

3

)，
∴

2x-y- 3 z=0 x+y- 3 z=0

，取y=1，得

n

=(2，1，

3

)，

DC

=(1，0，0)是平面SAD的一個(gè)法向量，
設(shè)平面SAD與平面SBC所成銳二面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

DC

＞|=|

2

2 2 •1

|=

2

2

，
∴平面SAD與平面SBC所成銳二面角為

π

4

．
（Ⅲ）解：∵

BE

=(-2，1，0)，
平面SBC的法向量

n

=（2，1，

3

），
∴點(diǎn)E到平面SBC的距離：
d=

| n • BE |

| n |

=

3

2 2

=

3 2

4

．
故點(diǎn)E到平面SBC的距離為

3 2

4

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面所成銳二面角的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．