Question

已知定點(diǎn)A（0，-1），點(diǎn)B在圓F：x²+（y-1）²=16上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為圓心，線段AB的垂直平分線交BF于P．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）若曲線Q：x²-2ax+y²+a²=1被軌跡E包圍著，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根據(jù)橢圓的定義可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)（有界性），可求得實(shí)數(shù)a的最小值；

解答：解：（1）由題意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P點(diǎn)軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓．
設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
則2a=4，a=2，a²-b²=c²=1，故b²=3，
∴點(diǎn)p的軌跡方程為

y2

4

+

x2

3

=1
（2）曲線Q：x²-2ax+y²+a²=1化為（x-a）²+y²=1，則曲線Q是圓心在（a，0），半徑為1的圓．
而軌跡E：

y2

4

+

x2

3

=1為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，短軸上的頂點(diǎn)(-

3

，0)，(

3

，0)
∵曲線Q被軌跡E包圍著，則-

3

+1≤a≤

3

-1
∴a的最小值為-

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義和幾何性質(zhì)，以及點(diǎn)圓位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．