Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知2cos（B-C）+1=4cosBcosC．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2

7

，△ABC的面積為2

3

，求b+c．

Answer 1

分析：（I）利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)已知等式可得cos（B+C）=

1

2

，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍算出B+C=

π

3

，再利用三角形內(nèi)角和即可得到A的大��；
（II）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合△ABC的面積為2

3

算出bc=8．再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)可得（b+c）²-bc=28，兩式聯(lián)解即可算出b+c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵2cos（B-C）+1=4cosBcosC，
∴2（cosBcosC+sinBsinC）+1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=1，可得2cos（B+C）=1，
∴cos（B+C）=

1

2

．
∵0＜B+C＜π，可得B+C=

π

3

．
∴A=π-（B+C）=

2π

3

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=

2π

3

．
∵S_△ABC=2

3

，∴

1

2

bcsin

2π

3

=2

3

，解得bc=8．   ①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
（2

7

）²=b²+c²-2bccos

2π

3

，即b²+c²+bc=28，
∴（b+c）²-bc=28．                         ②
將①代入②，得（b+c）²-8=28，
∴（b+c）²=36，可得b+c=6．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的角滿足的條件，求A的大小，并在已知三角形面積的情況下求邊長(zhǎng)．著重考查了三角恒等變換、正余弦定理和三角形面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．