Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=ax⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄，a，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，當(dāng)x=-1時，f（x）取得極大值，且函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在上？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）已知函數(shù)f（x），且函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對稱．所以y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，即y=f（x）是奇函數(shù)，所以f（x）=a₁x³+a₃x，由題意，得進(jìn)而可得答案；
（Ⅱ）在函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在上？屬于探索性問題．通常假設(shè)存在，看是否有解即可．假設(shè)存在兩切點(diǎn)為，
則f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因?yàn)椋▁₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以或即或
從而可得所求兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或．
（Ⅲ）設(shè)，求證：．關(guān)鍵在理解題意上．只需要求出

和的最值即可．求最值當(dāng)然要通過求導(dǎo)分析單調(diào)性，再看，所屬范圍．再求．則易證．
解答：解：（Ⅰ）將y=f（x+1）的圖象向右平移1個單位，得到y(tǒng)=f（x）的圖象，
所以y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，即y=f（x）是奇函數(shù)，
所以f（x）=a₁x³+a₃x，由題意，得所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=x²-1，
假設(shè)存在兩切點(diǎn)為，
則f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因?yàn)椋▁₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]
所以或即或
從而可得所求兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或．
（Ⅲ）因?yàn)楫?dāng)時，f'（x）＜0，所以f（x）在遞減．
由已知得，
所以，即．
注意到x＜-1時，f′（x）＞0，-1＜x＜1時，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，1）上遞減，
由于y_m=，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180327162862618/SYS201310241803271628626019_DA/31.png">＜-1＜，
所以，
即．
所以．
點(diǎn)評：這種題型屬于較難的壓軸題．關(guān)鍵在挖掘題意上做文章．