【題目】某地要建造一個(gè)邊長為2（單位：km）的正方形市民休閑公園OABC，將其中的區(qū)域ODC開挖成一個(gè)池塘，如圖建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），曲線OD是函數(shù)y=ax2圖象的一部分，對(duì)邊OA上一點(diǎn)M在區(qū)域OABD內(nèi)作一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）的圖象，與線段DB交于點(diǎn)N（點(diǎn)N不與點(diǎn)D重合），且線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，四邊形MABN為綠化風(fēng)景區(qū)：
（1）求證：b=﹣ ；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，①用t表示M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)；②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S=S（t），并求S的最大值．

【答案】
（1）證明：函數(shù)y=ax2過點(diǎn)D（1，2），

代入計(jì)算得a=2，

∴y=2x2；

由 ，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，

由線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，

得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，

解得b=﹣


（2）解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P（t，2t2）；

①直線MN的方程為y=kx+b，

即y=kx﹣ 過點(diǎn)P，

∴kt﹣ =2t2，

解得k=4t；

y=4tx﹣2t2

令y=0，解得x= ，∴M（ ，0）；

令y=2，解得x= + ，∴N（ + ，2）；

②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)為

S=S（t）=2×2﹣ ×2×[ +（ + ）]=4﹣（t+ ）；

由t+ ≥2 = ，當(dāng)且僅當(dāng)t= ，即t= 時(shí)“=”成立，

所以S≤4﹣2 ；即S的最大值是4﹣


【解析】（1）根據(jù)函數(shù)y=ax2過點(diǎn)D，求出解析式y(tǒng)=2x2；由 ，消去y得△=0即可證明b=﹣ ；（2）寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（t，2t2），代入①直線MN的方程，用t表示出直線方程為y=4tx﹣2t2 ， 令y=0，求出M的坐標(biāo)；令y=2求出N的坐標(biāo)； ②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S（t），利用基本不等式求出S的最大值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為 （θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．
（I）當(dāng)m=3時(shí)，判斷直線l與C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)C上有且只有一點(diǎn)到直線l的距離等于 時(shí)，求C上到直線l距離為2 的點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如甲圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起到△D1AE位置，使平面D1AE⊥平面ABCE，得到乙圖所示的四棱錐D1﹣ABCE．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面D1AE；
（Ⅱ）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有以下命題：
①若函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f（x）的值域?yàn)閧0}；
②若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則f（|x|）=f（x）；
③若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則f（x）不存在反函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）存在反函數(shù)f﹣1（x），且f﹣1（x）與f（x）不完全相同，則f（x）與f﹣1（x）圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上；
其中真命題的序號(hào)是 ． （寫出所有真命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=9x﹣2a3x+3：
（1）若a=1，x∈[0，1]時(shí)，求f（x）的值域；
（2）當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，求f（x）的最小值h（a）；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m、n，同時(shí)滿足下列條件：①n＞m＞3；②當(dāng)h（a）的定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，其值域?yàn)閇m2 ， n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ex﹣a ， g（x）=ln（x+2）﹣4ea﹣x ， 其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)x0 ， 使f（x0）﹣g（x0）=3成立，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A.﹣ln2﹣1
B.﹣1+ln2
C.﹣ln2
D.ln2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）．
（Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x有三個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=ax3﹣xlnx，若x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2 ， 不等式（x12﹣x22）（f（x1）﹣f（x2））＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=2cos （sin ﹣ cos ）+ （ω＞0）在區(qū)間（ ，π）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的范圍為 ．

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