Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

2

x2+cosx-1(x∈(0，+∞))的導(dǎo)數(shù)為f′（x）．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，證明：f′（x）＞0；
（II）當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列{a_n}滿足：0＜a₁＜1，且a_n+1=f（a_n），求證：0＜a_n+1＜a_n＜1；
（III）若y=f（x）的單調(diào)增函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將a=1代入f（x）解析式，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法求出f′（x）．轉(zhuǎn)化為研究f′（x）恒正，考慮它的單調(diào)性以此解決函數(shù)值域．
（II）由已知不易作差或作商，可考慮數(shù)學(xué)歸納法證明．
（III）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解，a的取值應(yīng)使f′（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1

2

x2+cosx-1(x∈(0，+∞))
g（x）=f′（x）=x-sinx
g（x）=f′（x）=x-sinx，g′（x）=1-cosx≥0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，所以y=g（x）在∈（0，+∞）上是增函數(shù)
故g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0．
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由0＜a₁＜1得f（0）＜f（a₁）＜f（1）=-

1

2

+cos1＜1，故0＜a₂＜1
又a₂=f（a₁）=

1

2

a12+cosa1-1＜

1

2

a12＜a2，
即當(dāng)n=1時(shí)，0＜a2＜a1＜1
②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，有0＜a_k+1＜a_k＜1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有f（0）＜f（a_k+1）＜f（a_k）＜f（1）
即0＜a_k+2＜a_k+1＜f（1）＜1
即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立．
由①②知：0＜a_n+1＜a_n＜1對(duì)任意正整數(shù)都成立．
 （III）由f(x)=

a

2

x2+cosx-1(x∈(0，+∞))
得h（x）=f′（x）=ax-sinx，若y=f（x）是單調(diào)增函數(shù)，f′（x）=ax-sinx＞0恒成立．
①當(dāng)a≥1時(shí)，任意x∈（0，+∞）恒有ax≥x＞sinx，此時(shí)f′（x）=ax-sinx＞0
∴y=f（x）在（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h′（x）=a-cosx=0得cosx=a，在（0，

π

2

）上存在x₀使得cosx₀=a
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)h′（x）=a-cosx＜0，h（x）=f′（x）＜f（0）=0這與任意x∈（0，+∞）恒成立矛盾
綜上a≥1為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與不等式、數(shù)列，三角的綜合性題目．考查函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，不等式的證明方法，數(shù)學(xué)歸納法，三角函數(shù)的有界性，分類(lèi)討論思想．需要較強(qiáng)的分析解決問(wèn)題的能力．此題盤(pán)整了中學(xué)的重要數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，是難題，也是好題．可細(xì)心體會(huì)．