Question

12．求適合下列條件的曲線方程．
（1）焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)M（3，2）的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）頂點(diǎn)是雙曲線16x²-9y²=144的中心，準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)M（3，2），利用橢圓性質(zhì)能求出橢圓方程．
（2）由雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），得拋物線的準(zhǔn)線為x=-3，由此能求出拋物線的方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
依題意可得：2c=4，即c=2，a²=b²+4，…．（2分）
由橢圓過點(diǎn)（3，2）得：$\frac{4}{^{2}+4}$+$\frac{9}{^{2}}$，解得：b²=12，a²=16，…..（4分）
故橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$ …..（5分）
（2）雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），故拋物線的準(zhǔn)線為x=-3，…．（7分）
依題意設(shè)拋物線方程為：y²=2px，-$\frac{p}{2}=-3$，即p=6．…．（9分）
所以拋物線的方程為：y²=12x．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程、拋物線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、拋物線、雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．