精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

有一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長均為4 $數(shù)學公式$ 的直三棱柱封閉容器內(nèi)可以向各個方向自由運動，則該小球不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是________．

72+18 $\text{[math]}$
分析：分別計算側(cè)面與底面上小球不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積，即可得到結(jié)論．
解答：（1）側(cè)面：當小球運動到同時接觸到三棱柱容器的兩面內(nèi)壁時，小球與該兩面內(nèi)壁的接觸點相距這兩面內(nèi)壁的棱必有一段距離，且這兩接觸點到棱的距離相等．從接觸點到棱作垂線，再連接球心與垂足點、球心與接觸點，這樣構(gòu)成一個直角三角形．
接觸點到棱的距離：小球半徑×tan60°=1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
該段距離上的內(nèi)壁的面積是：距離×棱長= $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ =12
兩面內(nèi)壁的面積是：12×2=24
直三棱柱有三條棱，總不可接觸到的面積是：24×3=72 （cm²）
（2）底面：球與底面相切的面積只是一個邊長為2 $\text{[math]}$ 的正三角形，剩余的面積為9 $\text{[math]}$ ×2=18 $\text{[math]}$
則該小球不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是72+18 $\text{[math]}$
故答案為：72+18 $\text{[math]}$
點評：本題考查面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是分側(cè)面與底面分別求解，屬于中檔題．

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