Question

2．已知正系數(shù)5次多項(xiàng)式f（x）滿足以下兩個(gè)條件．
（a）對(duì)任意x≠0，均有f（x）=x⁶f（$\frac{1}{x}$）；
（b）f（2）=10f（1），
則$\frac{f（3）}{f（2）}$的取值范圍為（$\frac{9}{2}$，$\frac{29}{6}$）．

Answer 1

分析 設(shè)正系數(shù)5次多項(xiàng)式f（x）=ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f，則由兩個(gè)條件求得f（x）=ax⁵+bx⁴+7ax³+bx²+ax，可得$\frac{f（3）}{f（2）}$=$\frac{18t+87}{4t+18}$=$\frac{9（2t+9）+6}{2•（2t+9）}$=$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2t+9}$，再利用t＞0以及不等式的性質(zhì)求得它的范圍．

解答 解：設(shè)正系數(shù)5次多項(xiàng)式f（x）=ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f，其中a、b、c、d、e、f＞0．
則由f（x）=x⁶f（$\frac{1}{x}$），可得 ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=x⁶•（a${（\frac{1}{x}）}^{5}$+b${（\frac{1}{x}）}^{4}$+c${（\frac{1}{x}）}^{3}$+d${（\frac{1}{x}）}^{2}$+e$\frac{1}{x}$+f）
=ax+bx²+cx³+dx⁴+ex⁵+fx⁶，
∴f=0，a=e，b=d，故 f（x）=ax⁵+bx⁴+cx³+bx²+ax．
再根據(jù)f（2）=10f（1），可得32a+16b+8c+4b+2a=10（a+b+c+b+a），
求得c=7a，故f（x）=ax⁵+bx⁴+7ax³+bx²+ax，
∵$\frac{f（3）}{f（2）}$=$\frac{435a+90b}{90a+20b}$=$\frac{435+90•\frac{a}}{90+20•\frac{a}}$=$\frac{87+18•\frac{a}}{18+4•\frac{a}}$，$\frac{a}$＞0，設(shè)t=$\frac{a}$＞0，
則$\frac{f（3）}{f（2）}$=$\frac{18t+87}{4t+18}$=$\frac{9（2t+9）+6}{2（2t+9）}$=$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2t+9}$∈（$\frac{9}{2}$，$\frac{29}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理，函數(shù)與不等式的性質(zhì)應(yīng)用，轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于難題．