在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數(shù)k，直線恒過定點F．設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：x2+y2=r2（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關(guān)系．
【答案】分析：（1）先將轉(zhuǎn)化為進而可求得F的坐標得到c的值，再由a+c=可求出a的值，進而可得b的值，確定橢圓方程．
（2）先根據(jù)x2+y2=r2（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點確定r的范圍，再由（m，n）在橢圓C上可得到和m的范圍，圓心O到直線l1的距離和圓心O到直線l2的距離可判斷直線l1與l2與圓O的關(guān)系．
解答：解：（1），
解得．
設橢圓C的長軸長、短軸長、焦距分別為2a，2b，2c，
則由題設，知于是a=2，b2=1．
所以橢圓C的方程為
（2）因為圓O：x2+y2=r2（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，
所以b＜r＜a，即1＜r＜2．
因為點（m，n）是橢圓上的點，
所以．
所以．
于是圓心O到直線l1的距離，
圓心O到直線l2的距離．
故直線l1與圓O相交，直線l2與圓O相離．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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