Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，M，N分別是PC，PB的中點．
（1）求證：DP∥平面ANC；
（2）求證：平面PBC⊥平面ADMN；
（3）求點B到平面ANC的距離．

Answer 1

分析：（1）連接BD，AC，令BD∩AC=0，連接NO，根據(jù)菱形的幾何特征，結(jié)合三角形中位線定理，可得PD∥NO，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）取AD中點E，連接PE，BE，BD，結(jié)合已知中ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，E為AD的中點，結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得BE⊥AD，結(jié)合PE⊥AD及線面垂直的判定定理，即可得到AD⊥平面PBE，又由線面垂直的性質(zhì)得AD⊥PB，再由AN⊥PB，由線面垂直的判定定理得PB⊥平面ADMN，最后由面面垂直的判定定理得平面PBC⊥平面ADMN；
（3）以E為原點，以EA，EB，EP分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ANC的法向量和直線AB的方向向量，代入d=

| AB • n |

| n |

，即可得到答案．

解答：證明：（1）連接BD，AC，設(shè)BD∩AC=0，連接NO
∵ABCD是邊長為2的菱形，
∴O為BD的中點，又由N為PB的中點
∴PD∥NO
又∵NO?平面ANC，PD?平面ANC
∴PD∥平面ANC
（2）取AD中點E，連接PE，BE，BD
∵ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°
∴△ABD為正三角形，又由E為AD的中點
∴BE⊥AD
又∵PE⊥AD，PE∩BE=E
∴AD⊥平面PBE
又由PB?平面PBE
∴AD⊥PB
又∵PA=PB，N為PB的中點，
∴AN⊥PB
又由AD∩AN=A
∴PB⊥平面ADMN，而PB?平面ADMN
∴平面PBC⊥平面ADMN；
（3）∵PE⊥AD，側(cè)面PAD與底面ABCD垂直
∴PE、EA、EB兩兩互相垂直
以E為原點，以EA，EB，EP分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0），N（0，

3

2

，

3

2

），
則

AC

=（-3，

3

，0），

AN

=（-1，

3

2

，

3

2

），

AB

=（-1，

3

，0），
設(shè)平面ANC的一個法向量為

n

=（1，y，z）
由

n

•

AC

=0，

n

•

AN

=0，解得

n

=（1，

3

，-

3

3

）
則點B到平面ANC的距離d=

| AB • n |

| n |

=

2 39

13

…（12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，點面之間的距離，（1）的關(guān)于是找到平面內(nèi)一條與已知直線平行的直線，（2）的關(guān)鍵是線線、線面、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（3）的關(guān)鍵是d=

| AB • n |

| n |

．