Question

如圖直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=2，AB=BC，D是BA₁上一點，且AD⊥平面A₁BC．
（1）求證：BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）在棱BB₁是否存在一點E，使平面AEC與平面ABB₁A₁的夾角等于60°，若存在，試確定E點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明BC⊥平面ABB₁A₁，利用線面垂直的判定，證明AD⊥BC，AA₁⊥BC即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，設(shè)存在滿足條件的點E坐標(biāo)為（0，0，a）（0＜a＜2），求出平面ABB₁A₁的法向量=，平面ACE的法向量，利用平面AEC與平面ABB₁A₁的夾角等于60°，結(jié)合向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
解答：（1）證明：∵AD⊥平面A₁BC，BC?平面A₁BC
∴AD⊥BC．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC．
∵AD∩AA₁=A，AD?平面ABB₁A₁，AA₁?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：∵BC⊥平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁
∴BC⊥AB．
又BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，于是可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz．
∵△ABC是等腰直角三角形，且斜邊AC=2，
∴．
從而，
設(shè)存在滿足條件的點E坐標(biāo)為（0，0，a）（0＜a＜2）
由（1）知平面ABB₁A₁的法向量=，
令平面ACE的法向量，由，可得
令得．
∵平面AEC與平面ABB₁A₁的夾角等于60°
∴，解得a=1
所以當(dāng)E為棱BB₁中點時平面AEC與平面ABB₁A₁的夾角等于60°．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，正確掌握線面垂直的判定定理，合理建立空間直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵．