Question

已知△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=6，向量=（2sinc，-），=（cos2c，-1）且∥．
（1）求銳角C的大小；
（2）求△ABC的面積S_△ABC的取值范圍．

Answer 1

解：（1）△ABC中，∵∥，∴2sinC （2-1）=-cos2C，∴sin2C=-cos2C，∴tan2C=-，∴C=．
（2）∵C=，c=6，由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，可得 a²+b²=ab+36．
又 a²+b²≥2ab 代入上式得：ab≤36 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)等號(hào)成立．）
∴S_△ABC=ab•sinC=ab≤9（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．）
∴S_△ABC 的面積的取值范圍為（0，9]．
分析：（1）△ABC中，由∥，可得 sin2C=-cos2C，可得 tan2C=-，由此求得 C的值．
（2）由余弦定理可得 a²+b²=ab+36，再利用基本不等式求得 ab≤36，再根據(jù)S_△ABC=ab，求得它的最大值，從而得到△ABC的面積S_△ABC的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．