Question

某養(yǎng)殖廠(chǎng)需定期購(gòu)買(mǎi)飼料,已知該廠(chǎng)每天需要飼料200千克,每千克飼料的價(jià)格為1.8元,飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每千克每天0.03元,購(gòu)買(mǎi)飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元.

(1)求該廠(chǎng)多少天購(gòu)買(mǎi)一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少;

(2)若提供飼料的公司規(guī)定,當(dāng)一次購(gòu)買(mǎi)飼料不少于5噸時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠(即為原價(jià)的85%).問(wèn)該廠(chǎng)是否可以考慮利用此優(yōu)惠條件,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解析:(1)設(shè)該廠(chǎng)應(yīng)隔x(x∈N^*)天購(gòu)買(mǎi)一次飼料,平均每天支付的總費(fèi)用為y₁.

∵飼料的保管與其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.03=6(元),

∴x天飼料的保管與其他費(fèi)用共是

6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x²-3x(元).

從而有y₁=(3x²-3x+300)+200×1.8

=+3x+357≥417.

當(dāng)且僅當(dāng)=3x,即x=10時(shí),y₁有最小值.

即每隔10天購(gòu)買(mǎi)一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少.

(2)若廠(chǎng)家利用此優(yōu)惠條件,則至少25天購(gòu)買(mǎi)一次飼料,設(shè)該廠(chǎng)利用此優(yōu)惠條件,每隔x天(x≥25)購(gòu)買(mǎi)一次飼料,平均每天支付的總費(fèi)用為y₂,則

y₂=(3x²-3x+300)+200×1.8×0.85=+3x+303(x≥25).

∵y₂′=+3,

∴當(dāng)x≥25時(shí),y₂′＞0,即函數(shù)y₂在［25,+∞)上是增函數(shù),

∴當(dāng)x=25時(shí),y₂取得最小值為390.而390＜417,

∴該廠(chǎng)可以接受此優(yōu)惠條件.