Question

拋物線方程為y²=p（x+1）（p＞0），直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準線的右邊．
（1）求證：直線與拋物線總有兩個交點；
（2）設直線與拋物線的交點為Q、R，OQ⊥OR，求p關于m的函數(shù)f（m）的表達式；
（3）在（2）的條件下，若m變化，使得原點O到直線QR的距離不大于

2

2

，求p的值的范圍．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的性質(zhì)可得拋物線的準線方程x=-1-

p

4

，由直線x+y=m與x軸的交點為（m，0）在準線右邊可得，m＞-1-

p

4

，要證直線與拋物線總有兩個交點，只要證明由

y2=p(x+1) x+y=m

所得方程x²-（2m+p）x+（m²-p）=0的判別式△＞0即可
（2）設Q、R兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由（1）知，x₁、x₂是方程x²-（2m+p）x+m²-p=0的兩根，由方程的根與系數(shù)的關系及由OQ⊥OR，可得x₁x₂+y₁y₂=0可求
（3）解法一：由題意可得

|0+0-m|

2

≤

2

2

可求m的范圍，結合（2）中m＞-2且m≠0可求m的范圍，而f（m）=

m2

m+2

=（m+2）+

4

m+2

-4，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可求p的范圍
解法二：由解法一可知，m的范圍，由（2）知p=f（m）=

m2

m+2

=

1

1 m + 2 m2

，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求p的范圍

解答：解：（1）∵拋物線y²=p（x+1）的準線方程是x=-1-

p

4

∵直線x+y=m與x軸的交點為（m，0）在準線右邊
∴m＞-1-

p

4

∴m＞-1-

p

4

，即4m+p+4＞0．
由

y2=p(x+1) x+y=m

得x²-（2m+p）x+（m²-p）=0．
而判別式△=（2m+p）²-4（m²-p）=p（4m+p+4）．
又p＞0及4m+p+4＞0，可知△＞0．
因此，直線與拋物線總有兩個交點；                   …（4分）
（2）設Q、R兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由（1）知，x₁、x₂是方程x²-（2m+p）x+m²-p=0的兩根，
∴x₁+x₂=2m+p，x₁•x₂=m²-p．由OQ⊥OR，得k_OQ•k_OR=-1，
即有x₁x₂+y₁y₂=0．又Q、R為直線x+y=m上的點，
因而y₁=-x₁+m，y₂=-x₂+m．
于是x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=2（m²-p）-m（2m+p）+m²=0，
∴p=f（m）=

m2

m+2

，由

p＞0 4m+4+p＞0

得m＞-2，m≠0；…（9分）
（3）解法一：由于原點O到直線x+y=m的距離不大于

2

2

，于是

|0+0-m|

2

≤

2

2

，
∴|m|≤1．由（2），知m＞-2且m≠0
故m∈[-1，0）∪（0，1]．
由（2），知f（m）=

m2

m+2

=（m+2）+

4

m+2

-4qqqq1q
當m∈[-1，0）時，任取m₁、m₂，0＞m₁＞m₂≥-1，則
f（m₁）-f（m₂）=（m₁-m₂）+（

4

m1+2

-

4

m2+2

）
=（m₁-m₂）[1-

4

(m1+2)(m2+2)

]．
由0＞m₁＞m₂≥-1，知0＜（m₁+2）（m₂+2）＜4，1-

4

(m1+2)(m2+2)

＜0．
又由m₁-m₂＞0知f（m₁）＜f（m₂）因而f（m）為減函數(shù)．
可見，當m∈[-1，0）時，p∈（0，1]．
同樣可證，當m∈（0，1]時，f（m）為增函數(shù)，從而p∈（0，

1

3

]．
解法二：由解法一知，m∈[-1，0）∪（0，1]．由（2）知
p=f（m）=

m2

m+2

=

1

1 m + 2 m2

．
設t=

1

m

，g（t）=t+2t²，則t∈（-∞，-1]∪[1，+∞），
又g（t）=2t²+t=2（t+

1

4

）²-

1

8

．
∴當t∈（-∞，-1]時，g（t）為減函數(shù)，g（t）∈[1，+∞）．
當t∈[1，+∞）時，g（t）為增函數(shù)，g（t）∈[3，+∞）．
因此，當m∈[-1，0]時，t∈（-∞，-1]，p=

1

g(t)

∈（0，1]；
當m∈（0，1]時，t∈[1，+∞），p∈（0，

1

3

]．

點評：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)的應用，直線與拋物線的相交關系與系數(shù)的應用，及利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的取值范圍，屬于方程與函數(shù)知識的綜合應用．