Question

如圖，已知焦點在x軸上的橢圓經(jīng)過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）求實數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m，使△ABM為直角三角形，若存在，求出m的值，若不存，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓方程的標準形式，由離心率的值及橢圓過點（4，1）求出待定系數(shù)，得到橢圓的標準方程．
（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍即可；
（3）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實數(shù)m滿足題意，再利用△ABM為直角三角形，結(jié)合向量垂直的條件求出m，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）依題意，解得b²=5，…（2分）
所以橢圓的標準方程是．…（3分）
（2）由得5x²+8mx+4m²-20=0，…（4分）
∵直線l與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=（8m）²-20（4m²-20）=-16m²+400＞0…（6分）
解得-5＜m＜5．…（7分）
（3）假設(shè)存在實數(shù)m滿足題意，
當MA⊥AB時，直線MA的方程為y-1=-（x-4），即y=-x+5．
由得x²-8x+16=0，解得．
故A（4，1），與點M重合，不合題意．
同理，當MB⊥AB時，也不合題意．…（9分）
當MA⊥MB時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（2）得，，
y₁+y₂=x₁+x₂+2m，y₁•y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²．…（10分）
∵，
∴…（11分）
=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）+m²-2m+17
=
==m²+6m+9．…（13分）
又，
∴m²+6m+9=0，
解得m=-3∈（-5，5），
綜上所述，存在實數(shù)m=-3使△ABM為直角三角形．…（14分）
點評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．