Question

如圖，已知△OFP的面積為m，且=1．
（I）若，求向量與的夾角θ的取值范圍；
（II）設(shè)，且．若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓經(jīng)過點P，當(dāng)取得最小值時，求此橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△OFP的面積為m，設(shè)向量與的夾角為θ，因為=m，×=1，
∴•cosθ=1，可得tanθ=2m，進而可得答案．
（2）以O(shè)為原點，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)=c，P點坐標(biāo)為（x，y），所以=m
••|y|=，即．因為=（c，0），=（x-c，y），•=1
所以
所以可得==，
設(shè)，判斷知f（c）在[2，+∞）上是增函數(shù)．
所以當(dāng)c=2時，f（c）為最小，從而為最小，此時P（）．
最終得到答案．
解答：解：（I）∵△OFP的面積為m，設(shè)向量與的夾角為θ．
=m ①
∵×=1，∴•cosθ=1 ②
由①、②得：tanθ=2m
∵，∴，∴
即向量與的夾角θ的取值范圍為
（II）如圖，以O(shè)為原點，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系
設(shè)=c，P點坐標(biāo)為（x，y）∵=m
∴••|y|=，∴
∵=（c，0），=（x-c，y），•=1
∴
∴==
設(shè)，當(dāng)c≥2時，任取c₂＞c₁≥2
有
當(dāng)c₂＞c₁≥2時，
∴f（c₂）-f（c₁）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函數(shù)
∴當(dāng)c=2時，f（c）為最小，從而為最小，此時P（）
設(shè)橢圓的方程為，則∴a²=10，b²=6
故橢圓的方程為．
點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法．屬難題．