Question

（理）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F(

5

，0)與定直線l：x=

4

5

的距離之比是常數(shù)

5

2

．
（ I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C及其方程；
（ II）求過(guò)點(diǎn)Q（2，1）且與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程．

Answer 1

分析：（ I）利用雙曲線定義，可知到定點(diǎn)F(

5

，0)與定直線l：x=

4

5

的距離之比是常數(shù)

5

2

的點(diǎn)的軌跡為雙曲線，在利用求雙曲線方程的方法去解即可．
（ II）與雙曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種，一種是與雙曲線相切，一種是平行漸近線，分兩種情況考慮即可．

解答：解：（ I）∵

5

2

＞1，
∴軌跡C為以F為右焦點(diǎn)，l為右準(zhǔn)線的雙曲線．
設(shè)雙曲線C方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，則

c= 5 a2 c = 4 5

，
∴a²=4．
∴b²=c²-a²=5-4=1．
∴雙曲線方程為

x2

4

-y2=1．
（Ⅱ）（1）若所求直線斜率不存在時(shí)，直線x=2滿足題意．
（2）若所求直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為y-1=k（x-2），
代入曲線方程

x2

4

-y2=1，得：

x2

4

-(kx-2k+1)2=1，
化簡(jiǎn)得：（1-4k²）x²+8k（2k-1）x-4（2k-1）²-4=0，
①當(dāng)（1-4k²）=0時(shí)，即k=±

1

2

時(shí)，
∵（2，1）在漸近線y=

1

2

x上，∴k=

1

2

時(shí)不適合，舍去.k=-

1

2

時(shí)，直線平行于漸近線y=-

1

2

x，滿足題意，
故所求直線方程為y=-

1

2

(x-2)+1，即y=-

1

2

x+2．
②當(dāng)（1-4k²）≠0時(shí)，由△=64k²（2k-1）²-16（4k²-1）（4k²-4k+2）=0，
得k=

1

2

（舍去），綜上所述，所求直線方程為x=2，y=-

1

2

x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線方程的求法，以及直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷，計(jì)算量較大，應(yīng)認(rèn)真計(jì)算．