Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-．
（I）求實數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）設(shè)g（x）=kx+1，對?x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（III）設(shè)b_n=，證明：b₁+b₂+…+b_n＜1+ln2（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知：（x＞0），
∵函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-．
∴，∴a=1．
∴，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f （x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
∴f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）． …（5分）
（Ⅱ）解：?x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，
設(shè)h（x）=lnx-（k+1）x，有．
①當(dāng)k+1≤0，即k≤-1時，h′（x）＞0，此時h（1）=ln1-（k+1）≥0與h（x）≤0矛盾．
②當(dāng)k+1＞0，即k＞-1時，令h′（x）=0，解得，
∴，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（）=ln-1≤0，
即ln（k+1）≥-1，解得k≥．
綜合k＞-1，知k≥．
∴綜上所述，k的取值范圍為[，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知f （x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴f （x）≤f （1）=0，∴l(xiāng)nx≤x-1．
當(dāng)n=1時，b₁=ln（1+1）=ln2，
當(dāng)n≥2時，有l(wèi)n（n+1）＜n，
∵b_n=＜=＜=，
∴b₁+b₂+…+b_n＜b₁+（）+…+（）=ln2+（1-）＜1+ln2．…（14分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-，可確定a的值，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）?x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-（k+1）x，利用h（x）_max≤0，即可求得k的取值范圍；
（Ⅲ）先證明當(dāng)n≥2時，有l(wèi)n（n+1）＜n，再利用放縮法，裂項法，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．