Question

7．已知函數(shù)f（x）=sin²x-2msinx+m²-1（m∈R）
（1）當m=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）已知g（x）=cos²x-2$\sqrt{3}$mcosx，若f（x）+g（x）=0在[0，2π）上有兩相異實數(shù)根α，β，且cos（α-β）=$\frac{1}{4}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）當m=$\frac{1}{2}$時，可求f（x）=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-1，可得$\frac{1}{2}≤$sinx≤1，利用正弦函數(shù)的圖象和性質及復合函數(shù)的單調性即可得解函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）由題意可得f（x）+g（x）=0在[0，2π）上有兩相異實數(shù)根α，β，即sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{m}{4}$=0在[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$）上有兩相異實數(shù)根α，β，則α+β=$\frac{3π}{2}$，可求$\frac{2π}{3}$＜α＜$\frac{3π}{2}$，$\frac{4π}{3}$＜2α＜3π，由cos（α-β）=$\frac{1}{4}$，可得：sin2α=-$\frac{1}{4}$＜0，從而解得范圍：$\frac{2π}{3}$＜α＜π，由sin2α=-$\frac{1}{4}$，解得sinα，cosα的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可求得m的值．

解答 解：（1）∵當m=$\frac{1}{2}$時，f（x）=sin²x-sinx-$\frac{3}{4}$=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-1，
∴當$\frac{1}{2}≤$sinx≤1時，函數(shù)f（x）單調遞增，
∴利用正弦函數(shù)的圖象和性質及復合函數(shù)的單調性可得函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為：[2k$π+\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．
（2）∵f（x）+g（x）=0，
∴可得：sin²x-2msinx+m²-1+cos²x-2$\sqrt{3}$mcosx=0，整理可得：m=2sinx+2$\sqrt{3}$cosx=4sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，2π），x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
∵f（x）+g（x）=0在[0，2π）上有兩相異實數(shù)根α，β，即sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{m}{4}$=0在[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$）上有兩相異實數(shù)根α，β，
則α+β=$\frac{3π}{2}$，$\frac{2π}{3}$＜α＜$\frac{3π}{2}$，$\frac{4π}{3}$＜2α＜3π．
∵cos（α-β）=cos[α-（$\frac{3π}{2}$-α）]=-sin2α=$\frac{1}{4}$，可得：sin2α=-$\frac{1}{4}$＜0，
∴$\frac{4π}{3}$＜2α＜2π，解得：$\frac{2π}{3}$＜α＜π，sinα＞0，cosα＜0，
∴由sin2α=-$\frac{1}{4}$，解得：sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinα-cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得：sinα=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{4}$，
∴m=2sinx+2$\sqrt{3}$cosx=2×$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4}$+2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+3-\sqrt{15}}{2}$．

點評 本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質及其運用，三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查了數(shù)形結合思想和計算能力，屬于中檔題．