Question

已知點M是圓C：上的一點，且軸，為垂足，點滿足,記動點的軌跡為曲線E．

（Ⅰ）求曲線E的方程；

（Ⅱ）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求面積S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)N（x,y）,M（），則由已知得，，，                     2分

代入得，．                                                        4分

所以曲線E的方程為.                                                           5分

(Ⅱ)方法一：

因為線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構(gòu)成三角形，

則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，

由，消去，并整理，得

.                                                          7分

設(shè)，，又,

所以，，                                                9分

因為,

所以，即，

所以，即，

因為，所以．　　                                                      12分

又點到直線的距離，

因為，

所以　                                            14分

所以，即的最大值為．                                                   15分

(Ⅱ)方法二：

因為線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構(gòu)成三角形，

則弦不能與垂直，故可設(shè)直線的方程為，

由，消去，并整理，得

.

設(shè)，，，，又，

所以，.                                                9分

因為，所以.

因為，

所以，

所以，                                                                  12分

又點到直線的距離，所以.

所以.     

設(shè)，則，                                              14分

所以，即的最大值為．                                                 15分

考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷和應用，弦長公式，三角形面積公式以及二次函數(shù)求最值等問題.

點評：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題每年高考都會出現(xiàn)在壓軸題的位置上，難度一般較大，關(guān)鍵是運算量大，所以在解決此類問題時，要注意設(shè)而不求、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應用.