Question

8．（1）解不等式|x-1|+|x-2|≥5
（2）已知$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=1（m＞0，n＞0）若m+4n≥|x-1|-|x-a|對(duì)?x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用基本不等式求得m+4n的最小值為9，利用絕對(duì)值三角不等式可得9≥|x-1|-|x-a|≥|a-1|，由此求得a的范圍．

解答 （1）解：不等式|x-1|+|x-2|≥5，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x-3≥5}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{1≥5}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-2x≥5}\end{array}\right.$③．
解①求得x≥4，解②求得x∈∅，解③求得x≤-1，
∴原不等式的解集為{x|x≥4，或x≤-1 }．
（2）∵已知$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=1（m＞0，n＞0），∴m+4n=（m+4n）•（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥5+2$\sqrt{4}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)m=3，n=$\frac{3}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∵m+4n≥|x-1|-|x-a|恒成立，∴9≥|x-1|-|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|恒成立，
結(jié)合絕對(duì)值三角不等式可得|a-1|≤9，-9≤a-1≤9，∴-8≤a≤10，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-8，10]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．