Question

設是首項為a，公差為d的等差數(shù)列，是其前n項的和。記，其中c為實數(shù)。

（1）若，且成等比數(shù)列，證明：；

（2）若是等差數(shù)列，證明：。

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】

試題分析：

(1)根據(jù)題意時，可得，即得到通項，則可根據(jù)成等比數(shù)列，得到關(guān)系，從而將化為關(guān)于的式子.進而證明結(jié)論.

(2) 根據(jù)是等差數(shù)列,可設出,則有,將代入,化簡該式為樣式,通過令,建立方程組,可解得.則可討論出.

試題解析：

由題意可知.①

（1）由，得.

又因為成等比數(shù)列，所以，

即，化簡得.

因為，所以.因此對于所有的，①有.

從而對于所有的，有。

（2）設數(shù)列的公差為，則，

即，代入的表達式，整理得，對于所有的，

有.

令，

則對于所有的，有.（*）

在（*）式中分別取，得

，

從而有①，②， ③，

由②③得，代入方程①，得，從而.

即，。

若，則由，得，與題設矛盾，所以。

又因為，所以。

考點：等差數(shù)列前項和,等比中項;化繁為簡的思想,等價代換的思想.