Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）要使f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，試求a的取值范圍；
（2）若x∈[0，1]時(shí)，f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，試求當(dāng)θ∈[0，

π

4

]時(shí)，a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），要使f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，只需x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，然后轉(zhuǎn)化成a＞

3

2

x恒成立，即可求出a的范圍；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知tanθ=f′（x），然后根據(jù)傾斜角為θ的范圍求出f′（x）的范圍在x∈[0，1]恒成立，將a分離出來(lái)，使之恒成立即可求出a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax，
由題設(shè)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（a）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，
∴a＞

3

2

x恒成立，
∴a≥

3

2

（6分）
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax
∵θ∈[0，

π

4

]．∴0≤f′(x)≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1
在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，當(dāng)-3x²+2ax≥0時(shí)，a≥

3

2

，
由-3x2+2ax≥1?a≤

1

2

(3x+

1

x

)恒成立，
又

1

2

(3x+

1

x

)min=

3

，∴a≤

3

∴

3

2

≤a≤

3

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與劃歸的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力，屬于中檔題．