Question

（1）是否存在實數(shù)a．使f（x）=loga(ax-

x

)在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)．若存在求出a
（2）已知函數(shù)f（x）=lg（a^x-kb^x）（k∈R⁺a＞1＞b＞0）的定義域恰為區(qū)間（0，+∞），是否存在這樣的a、b使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．若存在．求出a、b值．若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）用t=

x

換元后，先判斷ax-

x

=at2-t在[1，2]上的單調(diào)性再依據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的不等式．
（2）由k＞0a＞1＞b＞0可知g（x）=a^x-kb^x為增函數(shù)，又由定義域，可求值域，再由f（x）恰在（1，+∞）上取正值可確定f（x）的值從而求a、b

解答：解：（1）存在＞1時f（x）=loga(ax-

x

)在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)證明如下：
令t=

x

則函數(shù)變?yōu)間（t）=log_a（at²-t），又原函數(shù)在[2，4]上是增函數(shù)，故g（t）=log_a（at²-t）在[

2

，2]上是增函數(shù)．
對于內(nèi)層函數(shù)at²-t其對稱軸為

1

2a

由復合函數(shù)的單調(diào)性判斷規(guī)則知，
當a＞1時，內(nèi)層函數(shù)at²-t也是增函數(shù)，故

1

2a

≤

2

，即得a≥

2

4

，又a×2-

2

＞0，a＞

2

2

，綜合得，a＞1時函數(shù)為增函數(shù)．
當0＜a＜1時，內(nèi)層函數(shù)at²-t也是減函數(shù)，故

1

2a

≥2，得a≤

1

4

，又a×4-2＞0，得a＞

1

2

此種情況下無解
綜上，當a＞1時f（x）=loga(ax-

x

)在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)
（2）存在a=

5 +1

2

，b=

5 -1

2

使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．證明如下：
已知函數(shù)f（x）=lg（a^x-kb^x）（k∈R⁺a＞1＞b＞0）的定義域恰為區(qū)間（0，+∞）
由k＞0a＞1＞b＞0可知g（x）=a^x-kb^x為增函數(shù)，
又定義域恰為區(qū)間（0，+∞）故可得1-k=0，k=1
欲使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．
則只須a-b=1，a³-b³=4二者聯(lián)立解得a=

5 +1

2

，b=

5 -1

2

點評：考查存在性問題的轉(zhuǎn)化，第一小題中轉(zhuǎn)化成了不等式求參數(shù)的范圍，第二小題中轉(zhuǎn)化成了方程求出參數(shù)的值，這是由二者在表述上的不同所造成的，請讀者仔細體會這其中的奧妙．