Question

函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的圖象與x軸相切于點（-3，0），且函數(shù)存在極值．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（II）過函數(shù)y=f（x）圖象上一點P₁（x₁，y₁）（P₁不是y=f（x）圖象的對稱中心）作曲線的切線，切于不同于P₁（x₁，y₁）的另一點P₂（x₂，y₂），再過P₂（x₂，y₂）作曲線的切線切于不同于P₂（x₂，y₂）的另一點P₃（x₃，y₃），…，過P_n（x_n，y_n）作曲線的切線切于不同于P_n（x_n，y_n）的另一點P_n+1（x_n+1，y_n+1），求x_n與x_n+1的關(guān)系．

Answer 1

分析：（I）對函數(shù)求導(dǎo)可得 f′（x）=3x²+2ax+b，由題意可得f（-3）=0，f′（-3）=0，代入可求a，b的值，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值
（II）可先設(shè)切點為（x_n+1，y_n+1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程為y-y_n+1=f′（x_n+1）（x-x_n+1）=（3x_n+1²+12x_n+1+9）（x-x_n+1），又切線過點（x_n，y_n），所以代入切線方程整理求

解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax+b
由題意可得f（-3）=0，f′（-3）=0
∴

-27+9a-3b=0 27-6a+b=0

∴a=6，b=9

所以f（x）在（-∞，-3），（0，+∞）單調(diào)增區(qū)間
y_極大值=0y_極小值=-4
（II）設(shè)切點為（x_n+1，y_n+1）
∴切線方程為y-y_n+1=f′（x_n+1）（x-x_n+1）=（3x_n+1²+12x_n+1+9）（x-x_n+1）
又切線過點（x_n，y_n），所以代入切線方程整理可得：（x_n+2x_n+1）（x-x_n+1）+6（x_n-x_n+1）=0
∵x_n≠n_n+1∴x_n+2x_n+1+6=0

點評：利用導(dǎo)數(shù)的符號變化求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值是函數(shù)在導(dǎo)數(shù)部分最基本的考查，而切線方程的求解關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義．