Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，利用x＝1是函數(shù)f（x）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)求出a的值，再判斷f（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論①a≤0時(shí)f′（x）＜0在x∈[1，+∞）上恒成立，得出f（x）≤f（1）＝0，符合題意；②a＞0時(shí)，f′（x）是x∈[1，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，利用f′（1）＝a﹣1，討論a≤1時(shí)，f（x）≤f（1）＝0，滿足題意；a＞1時(shí)，易知存在x0∈[1，+∞），使得f′（x0）＝0，且f（x0）＞f（1）＝0，不符合題意；由此求出a的取值范圍．

（1）函數(shù)，其中；∴，

又是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，∴，解得，

∴，∴，且在上是單調(diào)減函數(shù)，，

∴時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2），；

①時(shí)，在上恒成立，

則是單調(diào)遞減函數(shù)，且，∴恒成立，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，是上的單調(diào)減函數(shù)，且；

若，即，則在上單調(diào)遞減，且，滿足題意；

若，即，則易知存在，使得，

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∴時(shí)，存在，則不恒成立，不符合題意；

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．