Question

已知函數(shù)f（x）=

3x-5

2x+2

，x∈[2，8]．
（1）證明其單調(diào)性；
（2）求該函數(shù)的最值；
（3）它可以由哪一個反比例函數(shù)通過怎樣的平移得到？

Answer 1

考點：反函數(shù),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）任取2≤x₁＜x₂≤8，我們構(gòu)造出f（x₁）-f（x₂）的表達式，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案；
（2）根據(jù)（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，將區(qū)間端點的值代入即可求出最大值和最小值．
（3）利用分離常數(shù)法可將函數(shù)解析式化為f（x）=

-4

x+1

+

3

2

，進而根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，得到答案．

解答： （1）證明：f（x）在[2，8]上為增函數(shù)．證明如下：…（2分）
設(shè)x₁，x₂是區(qū)間[2，8]上的任意兩個實數(shù)且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

3x1-5

2x1+2

-

3x2-5

2x2+2

=

(3x1-5)(x2+1)-(3x2-5)(x1+1)

2(x1+1)(x2+1)

=

8(x1-x2)

2(x1+1)(x2+1)

…（4分）
∵2≤x₁＜x₂≤8，
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0　x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在[2，8]上為增函數(shù)…（8分）
（2）解：由（1）f（x）在[2，8]上為增函數(shù)，
所以f（x）在[2，8]上有最大值f（8）=

19

18

，有最小值f（2）=

1

6

…（12分）
（3）解：f（x）=

3x-5

2x+2

=

3(x+1)-8

2(x+1)

=

-4

x+1

+

3

2

，
故函數(shù)f（x）的圖象可由反比例函數(shù)y=

-4

x

向左平移一個單位，再向上平行

3

2

個單位得到．…（15分）

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)的最值，同時還考查了學(xué)生的變形，轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題．