Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分別是某等差數(shù)列的第5項、第3項、第2項，且a1=

1

2

公比q≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}滿足bn=log

1

2

an2，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：當(dāng)n≥5時，a_nS_n＜1．

Answer 1

分析：（1）、根據(jù)題中已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)便可求出關(guān)于q的一元二次方程，解方程便可得出符合條件q的值，進(jìn)而求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）、先求出Sn，找出所需證明的不等式的關(guān)系，然后分別討論當(dāng)n=5和n＞5兩種情況下不等式恒成立即可．

解答：解：（1）由已知得a₂-a₃=2（a₃-a₄）．
從而得2q²-3q+1=0
解得q=

1

2

或q=1（舍去）…（4分）
所以a_n=a₁•q^n-1=

1

2

•（

1

2

）^n-1=(

1

2

)n．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為an=(

1

2

)n；…（6分）
（2）由于bn=2log

1

2

(

1

2

)n=2n•Sn=n(n+1)，anSn=

n(n+1)

2n

．
因此所證不等式等價于：2ⁿ＞n（n+1）（n≥5．）
①當(dāng)n=5時，因為左邊=32，右邊=30，32＞30，所以不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥5）時不等式成立，即2^k＞k（k+1），
兩邊同乘以2得2^k+1＞（k+1）（k+2）．
這說明當(dāng)n=k+1時也不等式成立．
由①②知，當(dāng)n≥5時，2ⁿ＞n（n+1）成立．
因此，當(dāng)n≥5時，a_nS_n＜1成立．…（12分）

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，考查了學(xué)生的計算能力，解題時注意分類討論的數(shù)學(xué)思想的運用，屬于中檔題．