Question

已知定義域?yàn)椋∣，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），若對任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+log

1

2

x]=3”，則方程f（x）=2+

x

的解的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．3

B．2

C．1

D．O

Answer 1

∵定義域?yàn)椋∣，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），
滿足f[f（x）+log

1

2

x]=3，f（x）=2+

x

，
∴必存在唯一的正實(shí)數(shù)a，
滿足f(x)+log

1

2

x=a，f（a）=3，①
∴f(a)+log

1

2

a=a，②
由①②得：3+log

1

2

a=a，
log

1

2

a=a-3，
a=(

1

2

)a-3，左增，右減，有唯一解a=2，
故f(x)+log

1

2

x=a=2，
f（x）=2-log

1

2

x，
由2-log

1

2

x=2+

x

，得log2x=

x

，
∴x=2

x

，
令t=

x

＞0，則t²=2^t，
此方程只有兩個(gè)正根t=2，或t=4，
∴x=4，或x=16．
故方程f（x）=2+

x

的解的個(gè)數(shù)是2．
故選B．