Question

20．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，過左焦點且斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且AF₂，AB，BF₂成等差數(shù)列．
（1）求E的離心率；
（2）設(shè)A，B兩點都在以P（-2，0）為圓心的同一圓上，求E的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AF₂，AB，BF₂成等差數(shù)列，可得2AB=AF₂+BF₂，利用橢圓定義可得AB=$\frac{4a}{3}$．設(shè)l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡可得a=$\sqrt{2}$b，從而求得橢圓的離心率；
（2）設(shè)AB的中點為N（x₀，y₀），運用中點坐標公式，可得N的坐標，根據(jù)PA=PB知PM為AB的中垂線，可得k_PN=-1，從而可求b=6，進而可求橢圓E的方程．

解答 解：（1）∵AF₂，AB，BF₂成等差數(shù)列，
∴2AB=AF₂+BF₂，
由橢圓定義可得，AB+AF₂+BF₂=4a，
∴AB=$\frac{4}{3}a$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），l：x=y-c，
代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，①
則AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（y₁-y₂）²=2[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=2[（$\frac{2^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$）²+$\frac{4^{4}}{{a}^{2}+^{2}}$]=$\frac{8^{4}}{（{a}^{2}+^{2}）^{2}}$•2a²，
化簡得a=$\sqrt{2}$b．
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{^{2}}{2^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）設(shè)AB的中點為N（x₀，y₀），由（1）可得，
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$-c=$\frac{c}{3}-c=-\frac{2c}{3}$，y₀=x₀+c=$\frac{c}{3}$，
由PA=PB，可得k_PN=-1，即$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}=-1$，
化簡為$\frac{c}{3}=\frac{2c}{3}-2$，解得c=6，a=6$\sqrt{2}$，b=6．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{72}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、兩點間的距離公式的應用，關(guān)鍵是利用PA=PB得k_PN=-1，屬于中檔題．