Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列．
（1）求角B的值；
（2）若b=5，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用等差中項(xiàng)的定義找出等量關(guān)系，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求解；
（2）先由正弦定理用角A、B表示出a、b，實(shí)現(xiàn)了邊向角的轉(zhuǎn)變，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求值域問題求解．

解答：解：（1）因?yàn)閍cosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，所以acosC+ccosA=2bcosB，（2分）
由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，即sin（A+C）=sinB=2sinBcosB．
因?yàn)?span id="4tywuw0" class="MathJye">sinB≠0，∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，所以B=

π

3

．（6分）
（2）∵

a

sinA

=

b

sin π 3

=

10

3

，
∴a=

10

3

sinA，
同理c=

10

3

sinC，
因?yàn)?span id="qjrem00" class="MathJye">B=

π

3

，所以A+C=

2π

3

，
所以△ABC周長(zhǎng)=a+b+c
=5+

10

3

sinC+

10

3

sinA
=5+

10

3

sin(

2π

3

-A)+

10

3

sinA
=5+5cosA+5

3

sinA
=5+10sin(A+

π

6

)（12分）
因?yàn)?span id="4w6o5bt" class="MathJye">0＜A＜

2π

3

，所以

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為（10，15]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)列和三角函數(shù)以及解三角形的有關(guān)知識(shí)，考查了學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力．