Question

（2010•重慶一模）設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+2ax+m，g(x)=

a

x

．
（I）若函數(shù)f（x），g（x）在[1，2]上都是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）當a=1時，設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）g（x），若h（x）在（0，+∞）內(nèi)的最大值為-4，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（I）直接根據(jù)二次函數(shù)、反比例函數(shù)單調(diào)性列出關(guān)于a的方程組，并解即可得出實數(shù)a的取值范圍．
（II）當a=1時，h(x)=f(x)g(x)=

-x2+2x+m

x

=-x+

m

x

+2，利用單調(diào)性或基本不等式探討出最大值情況，再確定實數(shù)m的值．

解答：解：（I）f（x），g（x）在[1，2]上都是減函數(shù)．

a≤1 a＞0

⇒0＜a≤1．…（4分）
（II）當a=1時，h(x)=f(x)g(x)=

-x2+2x+m

x

=-x+

m

x

+2，…（6分）
當m≥0時，顯然h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴h（x）無最大值；…（8分）
當m＜0時，h(x)=-x+

m

x

+2=-(x+

(-m)

x

)+2≤-2

-m

+2，…（10分）
當且僅當x=

-m

時，等號成立，
∴h(x)max=-2

-m

+2-2

-m

+2=-4⇒m=-9…（13分）

點評：本題考查初等函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值求解，基本不等式的應用，考查計算、分類討論能力．