已知函數(shù)f(x)=a-
1|2x-b|
是偶函數(shù),a為實常數(shù).
(1)求b的值;
(2)當a=1時,是否存在m,n(n>m>0)使得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m,n],若存在,求出m,n的值,否則,說明理由;
(3)若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m,n](m<n),使得y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m,n],求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)由f(x)=a-
1
|2x-b|
,知函數(shù)的定義域為D=(-∞,
b
2
)∪(
b
2
,+∞)
.再由y=f(x)是偶函數(shù),故定義域D關于原點對稱.由此能求出b.
(2)由(1)可知,f(x)=a-
1
2|x|
(D=(-∞,0)∪(0,+∞))
. 由f(x)=a-
1
2|x|
的圖象,可知:f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù),由此推導出不存在正實數(shù)m,n,滿足題意.
(3)由(1)可知,f(x)=a-
1
2|x|
(D=(-∞,0)∪(0,+∞))
f(x)=a-
1
2|x|
的圖象,知f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù),由此能求出實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)由已知可得,f(x)=a-
1
|2x-b|
,
且函數(shù)的定義域為D=(-∞,
b
2
)∪(
b
2
,+∞)

又y=f(x)是偶函數(shù),故定義域D關于原點對稱.
于是,b=0.
又對任意x∈D,有f(x)=f(-x),可得b=0.
因此所求實數(shù)b=0.   …(3分)
(2)由(1)可知,f(x)=a-
1
2|x|
(D=(-∞,0)∪(0,+∞))
. 
f(x)=a-
1
2|x|
的圖象,
知:f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù)
又n>m>0,
∴y=f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數(shù).
∴有 
1-
1
2m
=m
1-
1
2n
=n
,
即方程1-
1
2x
=x
,2x2-2x+1=0,
∵△=4-8<0,
∴不存在正實數(shù)m,n,滿足題意.…(7分)
(3)由(1)可知,
f(x)=a-
1
2|x|
(D=(-∞,0)∪(0,+∞))
f(x)=a-
1
2|x|
的圖象,
知f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù)
因y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m,n],故必有m、n同號.
①當0<m<n時,f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數(shù),
a-
1
2m
=m
a-
1
2n
=n
,
即方程x=a-
1
2x
,2x2-2ax+1=0有兩個不相等的正實數(shù)根,
因此
2a>0
△=4a2-8>0
,
解得a>
2
.                                                             …(10分)
②當m<n<0時,f(x)在區(qū)間[m,n]上是減函數(shù),
a+
1
2m
=n
a+
1
2n
=m

化簡得(m-n)a=0,a=0
綜上,實數(shù)a的取值范圍a=0,或a>
2
.…(12分)
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)和應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
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12x+1

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已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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a(x-1)x2
,其中a>0.
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12x-1
,(a∈R)
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(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結論.

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