Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=1，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x-1|≥2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價絕對值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求．
（2）令函數(shù)F（x）=f（x）+|x-1|，先求出函數(shù)F（x）的最小值等于a-1，根據(jù)題意得a-1≥2，求得a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，不等式f（x）≥2，即2|x-1|≥2，
∴|x-1|≥1，
解得 x≤0或x≥2，
故原不等式的解集為 {x|x≤0或x≥2}．
（2）令函數(shù)F（x）=f（x）+|x-1|=2|x-1|+|x-a|，
則F（x）=

-3x+2+a，x＜1 x-2+a，1≤x＜a 3x-2-a，x≥a

，
畫出它的圖象，如圖所示，由圖可知，
故當x=1時，函數(shù)F（x）有最小值F（1）等于a-1，
由題意得a-1≥2得a≥3，
則實數(shù)a的取值范圍[3，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，求函數(shù)的最小值的方法，體現(xiàn)了分類討論與等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．