在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=2B，sinB=
3
3
．
（Ⅰ）求cosA及sinC的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面積．
分析：（Ⅰ）根據(jù)cosA=cos2B=1-2sin2B，及sinB=
3
3
，可求cosA及sinC的值；
（Ⅱ）先計算sinA的值，再利用正弦定理，確定a的值，過點C作CD⊥AB于D，利用c=acosB+bcosA，即可求得三角形的面積．
解答：解：（Ⅰ）因為A=2B，所以cosA=cos2B=1-2sin2B．…（2分）
因為sinB=
3
3
，所以cosA=1-
2
3
=
1
3
．…（3分）
由題意可知，B∈(0，
π
2
)，所以cosB=
6
3
．…（5分）
所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
5
3
9
．…（8分）
（Ⅱ）sinA=sin2B=2sinBcosB=
2
2
3

因為
b
sinB
=
a
sinA
，b=2，所以
2
3
3
=
a
2
2
3
，所以a=
4
6
3
．…（10分）
由cosA=
1
3
可知，A∈(0，
π
2
)．
過點C作CD⊥AB于D，所以c=acosB+bcosA=
4
6
3
×
6
3
+2×
1
3
=
10
3
．…（12分）
所以S△ABC=
1
2
absinC=
20
2
9
．…（13分）
點評：本題考查二倍角公式，考查正弦定理的運用，解題的關(guān)鍵是搞清三角形中邊角之間的關(guān)系．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　　）
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大��；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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