Question

19．函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后關(guān)于y軸對稱，則f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得φ的值，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后，可得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的圖象，
根據(jù)所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
則f（x）=cos2x，令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[得kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
故函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
故答案為：[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．