(2012•海口模擬)已知某圓的極坐標方程是p2-4
2
pcos(θ-
π
4
)+6=0

求:
(1)求圓的普通方程和一個參數(shù)方程;
(2)圓上所有點(x,y)中xy的最大值和最小值.
分析:(1)圓的極坐標方程是p2-4
2
pcos(θ-
π
4
)+6=0
,化為直角坐標方程即 x2+y2-4x-4y+6=0,從而進一步得到其參數(shù)方程.
(2)因為 xy=(2+
2
cosθ)(2+
2
sinθ)=4+2
2
(sinθ+cosθ)+2sinθcosθ,再令sinθ+cosθ=t∈[-
2
,
2
],則xy=t2+2
2
t+3,根據(jù)二次函數(shù)的最值,求得其最大值和最小值.
解答:解:(1)普通方程:x2+y2-4x-4y+6=0…(2分);
參數(shù)方程:
x=2+
2
cosθ
y=2+
2
sinθ
 (θ為參數(shù))…(4分)
(2)xy=(2+
2
cosθ)(2+
2
sinθ)=4+2
2
(sinθ+cosθ)+2sinθcosθ…(5分)
令sinθ+cosθ=t∈[-
2
,
2
],2sinθcosθ=t2-1
,則xy=t2+2
2
t+3…(6分)
當(dāng)t=-
2
時,最小值是1;…(8分)
當(dāng)t=
2
時,最大值是9;…(10分)
點評:本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法,兩角和的正弦公式,圓的參數(shù)方程,得到圓的參數(shù)方程,是解題的關(guān)鍵.
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π
4
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1
3
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-
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3
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