已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=
lnx
x
,其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)討論a=1時(shí),f(x)的單調(diào)性、極值;
(2)求證:在(1)的條件下,f(x)>g(x)+
1
2

(3)若f(x)的最小值是3,求a的值.
分析:(1)先求導(dǎo)數(shù)f′(x),在定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即得f(x)的單調(diào)區(qū)間,由函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)極值.
(2)本題可轉(zhuǎn)化為證明f(x)min>[g(x)+
1
2
]max
,從而可轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題.
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值,列出方程即可解得,注意按參數(shù)a的范圍分類討論.
解答:(1)解:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x-lnx,f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
,當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)1<x<e時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)有極小值為f(1)=1.
(2)證明:由(1)知f(x)的極小值為1,即f(x)在(0,e]上的最小值為1,所以f(x)min=1,
令h(x)=g(x)+
1
2
=
lnx
x
+
1
2
,則h′(x)=
1-lnx
x2
,當(dāng)0<x<e時(shí),h′(x)>0,
h(x)在(0,e]上單調(diào)遞增,∴h(x)max=h(e)=
1
e
+
1
2
1
2
+
1
2
=1=f(x)min

所以在(1)的條件下,f(x)>g(x)+
1
2

(3)解:f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],f′(x)=a-
1
x
=
ax-1
x

①當(dāng)a≤0時(shí),∵x∈(0,e],∴f′(x)<0,所以f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=
4
e
(舍).
②當(dāng)0<
1
a
e時(shí),f(x)在(0,
1
a
)上單調(diào)遞減,在(
1
a
,e]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(
1
a
)=1+lna=3
,a=e2,滿足條件.
③當(dāng)
1
a
≥e
時(shí),∵x∈(0,e],∴f′(x)≤0,所以f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=
4
e
(舍).
綜上,a=e2,使得當(dāng)x∈(0,e]時(shí)f(x)有最小值3.
點(diǎn)評:本題屬導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查分析解決問題能力,難度較大.第(2)題中,注意f(x)min>[g(x)+
1
2
]max
f(x)>g(x)+
1
2
成立的充分不必要條件.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=A
x
+B
1-x
(A>0,B>0)

(1)求f(x)的定義域;
(2)求f(x)的最大值和最小值;
(3)若g(x)=
mx-1
+
1-nx
(m>n>0)
,如何由(2)的結(jié)論求g(x)的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=ax-
1x
,g(x)=lnx,(x>0,a∈R是常數(shù)).
(1)求曲線y=g(x)在點(diǎn)P(1,g(1))處的切線l.
(2)是否存在常數(shù)a,使l也是曲線y=f(x)的一條切線.若存在,求a的值;若不存在,簡要說明理由.
(3)設(shè)F(x)=f(x)-g(x),討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=ax-2
4-ax
 -1?(a>0且a≠1)

(1)求f(x)的定義域;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f(x)對于區(qū)間(2,+∞)上的一切x都有f(x)≥0?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
ax+1x-1
,x∈(1,+∞),f(2)=3
(1)求a;
(2)判斷并證明函數(shù)單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•湖南模擬)已知f(x)=ax+
bx
+3-2a(a,b∈R)
的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與直線y=3x+1平行.
(1)求a與b滿足的關(guān)系式;
(2)若a>0且f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案