Question

已知函數(shù)f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）當t=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）當t＞0時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）當t=1時，求出函數(shù)f（x），求出導函數(shù)f'（x）=0的根，比較根的函數(shù)值與區(qū)間端點所對應的函數(shù)值，即可得到答案；
（2）根據(jù)f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

，由t＞0，解不等式f'（x）＜0，即可求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）當t=1時，f（x）=4x³+3x²-6x，
∴f'（x）=12x²+6x-6，
令f'（x）=12x²+6x-6=0，解得x=-1或x=

1

2

（舍），
∴f（-2）=-8，f（-1）=5，f（0）=0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最大值為5，最小值為-8；
（2）∵f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，
∴f'（x）=12x²+6tx-6t²，
令f'（x）=0，解得x=-t或x=

t

2

，
∵t＞0，
∴-t＜

t

2

，
當f'（x）＜0時，解得-t＜x＜

t

2

，
∴當t＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-t，

t

2

）．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題．對于利用導數(shù)求閉區(qū)間上的最值問題，一般求出導函數(shù)的根所對應的函數(shù)值與區(qū)間端點所對應的函數(shù)值比較大小即可．本題同時考查了計算能力．屬于基礎題．