Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，2AC＝AA₁＝BC＝2．

(Ⅰ)若D為AA₁中點(diǎn)，求證：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；

(Ⅱ)若二面角B₁－DC－C₁的大小為60°，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1， 　　又由直三棱柱性質(zhì)知B1C1⊥CC1， 　　∴B1C1⊥平面ACC1A1． 　　∴B1C1⊥CD�、佟�3分 　　由D為中點(diǎn)可知，DC＝DC1＝ 　　∴DC2＋DC＝CC即CD⊥DC1�、凇�5分 　　由①②可知CD⊥平面B1C1D又CD　6分 　　(Ⅱ)由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1，如圖，在面ACC1A1內(nèi)過(guò)C1作C1E⊥CD，交CD或延長(zhǎng)線或于E，連EB1， 　　由三垂線定理可知∠B1EC1為二面角B1－DC－C1的平面角，8分 　　∴∠B1EC1＝60°． 　　由B1C1＝2知，　10分 　　設(shè)AD＝x，則 　　解得x＝　12分 　　解法二：(Ⅰ)如圖，以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線為x，y，z軸和建立空間直角坐標(biāo)系．則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，1)即 　　 　　由 　　得CD⊥C1B； 　　由 　　得CD⊥DC1；又DC1∩C1B＝C1， 　　∴CD⊥平面B1C1D．又CD平面B1CD， 　　∴平面B1CD⊥平面B1C1D　6分 　　(Ⅱ)設(shè)AD＝a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0，a)，設(shè)平面B1CD的法向量為 　　則由 　　得，又平面 　　則由 　　故AD＝　12分