Question

如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別是CC₁，C₁D₁，D₁D，CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若MN∥平面A₁BD，則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度是

2

2

a

．

Answer 1

分析：連接GH、HN，根據(jù)面面平行的判定定理可知平面A₁BD∥平面GHN，又點(diǎn)M在四邊形上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)M須在線段GH上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，求出GH即可求出所求．

解答：解：連接GH、HN，則GH∥BA₁，HN∥BD，
∵在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G，H分別是CC₁，C₁D₁，D₁D，CD的中點(diǎn)，
N是BC的中點(diǎn)，M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，MN∥平面A₁BD，
∴平面A₁BD∥平面GHN，
又點(diǎn)M在四邊形上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，
則點(diǎn)M須在線段GH上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，GH=

2

2

a，
則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度是

2

2

a．
故答案為：

2

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面平行的性質(zhì)，以及線段長(zhǎng)度的求解，同時(shí)考查了推理能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．