Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，，PB=BC=CA=4，E為PC的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上，且AF=2FP．
（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求證：CM∥平面BEF；
（3）求三棱錐F-ABE的體積．

Answer 1

（1）證明：∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB …（1分）
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB …（2分）
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC …（3分）
∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE …（4分）
∵PB=BC，E為PC中點(diǎn)，∴BE⊥PC …（5分）
∵PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC …（6分）
（2）證明：取AF的中點(diǎn)G，AB的中點(diǎn)M，連接CG，CM，GM，
∵E為PC中點(diǎn)，F(xiàn)A=2FP，∴EF∥CG．…（7分）
∵CG?平面BEF，EF?平面BEF，∴CG∥平面BEF．…（8分）
同理可證：GM∥平面BEF．
又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．…（9分）
∵CD?平面CDG，∴CD∥平面BEF．…（10分）
（3）解：由（1）可知BE⊥平面PAC
又PB=BC=4，E為PC的中點(diǎn)，∴BE=2．
∵= …（12分）
∴V_F-ABE=V_B-AEF==
∴三棱錐F-ABE的體積為．…（14分）
分析：（1）利用線面垂直可得線線垂直，進(jìn)而可得AC⊥平面PBC，即可得線線垂直，再利用線面垂直的判定，即可證得BE⊥平面PAC；
（2）取AF的中點(diǎn)G，AB的中點(diǎn)M，連接CG，CM，GM，利用線線平行證明線面平行，從而可得平面CMG∥平面BEF，利用面面平行的性質(zhì)，可得線面平行；
（3）證明BE⊥平面PAC，利用等體積轉(zhuǎn)化可求三棱錐F-ABE的體積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面平行，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．