Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y≥1，則u=x²+y²+4x-2y的最小值為

-

9

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P（x，y），它在區(qū)域2x+y≥1內(nèi)運(yùn)動，u表示點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)A（-2，1）的距離的平方與5的差，問題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)A（-2，1）到由2x+y≥1所確定的平面區(qū)域的最近距離，故A到直線l的距離為A到區(qū)域G上點(diǎn)的距離的最小值，由此結(jié)合點(diǎn)到直線l的距離公式，即可得到u的最小值．

解答：解析：由u=x²+y²+4x-2y=（x+2）²+（y-1）²-5
知，u表示點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)A（-2，1）的距離的平方與5的差．
又由約束條件2x+y≥1知：
點(diǎn)P（x，y）在直線l：2x+y=1上及其右上方．
問題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)A（-2，1）到由2x+y≥1所確定的平面區(qū)域的最近距離．
故A到直線l的距離為A到區(qū)域G上點(diǎn)的距離的最小值．
d=

|2×?-2?+1-1|

22+12

=

4

5

，
∴d²=

16

5

，
∴u_min=d²-5=-

9

5

．
故答案：-

9

5

點(diǎn)評：本題給出實(shí)數(shù)x、y滿足一次關(guān)系式，求它們平方和的最小值，著重考查了坐標(biāo)系內(nèi)簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用和點(diǎn)到直線的距離公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．