Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，為橢圓上一點（在軸上方），連結并延長交橢圓于另一點，設.

（1）若點的坐標為，且的周長為8，求橢圓的方程；

（2）若垂直于軸，且橢圓的離心率，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）[，5]．

【解析】

試題分析：（1）根據橢圓定義，將三角形周長轉化為：4a＝8，再結合點P在橢圓上，得，解方程組得a＝2，b2＝3．（2）由于垂直于軸，所以P(c，)．再根據，可求得Q(－c，－)．代入橢圓方程得＋＝1，即λ＝，最后根據，確定實數的取值范圍.

試題解析：（1）因為F1，F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點，且P，Q為橢圓上的點，

所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，從而△PQF2的周長為4a．

由題意，得4a＝8，解得a＝2．

因為點P的坐標為 (1，)，所以，

解得b2＝3．

所以橢圓C的方程為．

（2）方法一：因為PF2⊥x軸，且P在x軸上方，故設P(c，y0)，y0＞0．設Q(x1，y1)．

因為P在橢圓上，所以，解得y0＝，即P(c，)．

因為F1(－c，0)，所以＝(－2c，－)，＝(x1＋c，y1)．

由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1，

解得x1＝－c，y1＝－，所以Q(－c，－)．

因為點Q在橢圓上，所以()2e2＋＝1，

即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，

因為λ＋1≠0，

所以(λ＋3)e2＝λ－1，從而λ＝．

因為e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．

所以λ的取值范圍為[，5]．

方法二：因為PF2⊥x軸，且P在x軸上方，故設P(c，y0)，y0＞0．

因為P在橢圓上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)．

因為F1(－c，0)，故直線PF1的方程為y＝ (x＋c)．

由，得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．

因為直線PF1與橢圓有一個交點為P(c，)．設Q(x1，y1)，

則x1＋c＝－，即－c－x1＝．

因為＝λ，

所以λ＝＝＝＝＝．

因為e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．

所以λ的取值范圍為[，5]．