Question

若方程lgkx=2lg（x+1）僅有一個(gè)實(shí)根，那么k的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：先將方程lgkx=2lg（x+1）轉(zhuǎn)化為lgkx-2lg（x+1）=0，先對(duì)參數(shù)k的取值范圍進(jìn)行分類討論，得出函數(shù)的定義域再分別研究?jī)H有一根時(shí)的參數(shù)的取值范圍，得出答案．

解答：解：由題意，當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)定義域是（0，+∞），當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)定義域是（-1，0）
當(dāng)k＞0時(shí)，lgkx=2lg（x+1）
∴l(xiāng)gkx-2lg（x+1）=0
∴l(xiāng)gkx-lg（x+1）²=0，即kx=（x+1）²在（0，+∞）僅有一個(gè)解
∴x²-（k-2）x+1=0在（0，+∞）僅有一個(gè)解
令f（x）=x²-（k-2）x+1
又當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=x²-（k-2）x+1=1＞0
∴△=（k-2）²-4=0
∴k-2=±2
∴k=0舍，或4
k=0時(shí)lgkx無(wú)意義，舍去
∴k=4
當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)定義域是（-1，0）
函數(shù)y=kx是一個(gè)遞減過(guò)（-1，-k）與（0，0）的線段，函數(shù)y=（x+1）²在（-1，0）遞增且過(guò)兩點(diǎn)（-1，0）與（0，1），此時(shí)兩曲線段恒有一個(gè)交點(diǎn)，故k＜0符合題意
故答案為：k=4或k＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查在對(duì)數(shù)方程的應(yīng)用，要按照解對(duì)數(shù)方程的思路熟練應(yīng)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化問(wèn)題．