Question

如圖所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形ADD₁A₁中，點(diǎn)B，C在線段AD上，且AB＝3，BC＝4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁D₁，AD₁于點(diǎn)B₁，P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁D₁，AD₁于點(diǎn)C₁，Q，將該正方形沿BB₁，CC₁折疊，使得DD₁與AA₁重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱ABC－A₁B₁C₁．

(1)求證：AB⊥平面BCC₁B₁；

(2)求四棱錐A－BCQP的體積；

(3)求平面PQA與平面BCA所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在正方形中，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5426/0020/73c34dcac9d84d0261e5b2915e60000e/C/Image65.gif" width=142 height=17>， 　　所以三棱柱的底面三角形的邊． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5426/0020/73c34dcac9d84d0261e5b2915e60000e/C/Image69.gif" width=44 HEIGHT=17>，， 　　所以，所以． 　　因?yàn)樗倪呅?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5426/0020/73c34dcac9d84d0261e5b2915e60000e/C/Image73.gif" width=49 height=21>為正方形，， 　　所以，而， 　　所以平面．　4分 　　(2)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5426/0020/73c34dcac9d84d0261e5b2915e60000e/C/Image79.gif" width=36 HEIGHT=16>平面，所以為四棱錐的高． 　　因?yàn)樗倪呅?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5426/0020/73c34dcac9d84d0261e5b2915e60000e/C/Image83.gif" width=42 HEIGHT=20>為直角梯形，且，， 　　所以梯形的面積為． 　　所以四棱錐的體積．　8分 　　(3)由(1)(2)可知，，，兩兩互相垂直．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 　　則，，，，， 　　所以，， 　　設(shè)平面的一個(gè)法向量為． 　　則，即． 　　令，則．所以． 　　顯然平面的一個(gè)法向量為． 　　設(shè)平面與平面所成銳二面角為， 　　則． 　　所以平面與平面所成角的余弦值為．　12分