Question

已知圓x²+y²-9x=0與頂點在原點O，焦點在x軸上的拋物線交于A，B兩點，△AOB的垂心恰為拋物線的焦點，求拋物線C的方程．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)A點坐標(biāo)為（x₁，y₁）則可得B點坐標(biāo)，設(shè)拋物線方程為y²=2px，根據(jù)F為△AOB的垂心可得AF⊥OB，可得x₁和y₁關(guān)系式，又根據(jù)A在圓上和拋物線上，分別可得x₁和y₁的另兩個方程，最后聯(lián)立消去x₁和y₁即可求的p，進而拋物線方程可得．
解答：解：設(shè)A點坐標(biāo)為（x₁，y₁）則B點坐標(biāo)為（x₁，-y₁），設(shè)拋物線方程為y²=2px，則焦點F（，0）
∵F為△AOB的垂心AF⊥OB，
∴（-x₁）x₁+y₁²=0①
∵A在圓上，∴x²₁+y²₁-9x₁=0②
∵A在拋物線上，∴y²₁=2px₁，③
①②③聯(lián)立方程消去x₁，y₁，求得p=2
故拋物線方程為y²=4x，
點評：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線與其他圓錐曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析和解決問題的能力．