Question

已知定義在R的的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x>0時,f（x）<0,又f（1）=,

   （1）求征,f（x）為奇函數(shù);

   （2）求證:f（x）在R上是減函數(shù);

   （3）求f（x）在[-3,6]上的最大值與最小值;

Answer 1

解．（1）證明:令x=y=0,由f（x）+f（y）=f（x+y）,得f（））=0,再令y=-x得,f（x）+f（-x）=0,

∴F（x）在R上為奇函數(shù)．（4分）

   （2）設(shè)x₁,x₂且x₁<x₂,則f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）

∴f（x₂-f（x₁）=f（x₂-x₁）,∵x₂-x₁>0,由題意得f（x₂-x₁）<0,即f（x₂）-f（x₁）<0

∴f（x）在R是減函數(shù);（4分）

       （3）∵f（x）在[-3,6]上是減函數(shù),∴f（x）_max=f（3）=2, f（x）_min=f（6）=-4（4分）